sin(a+b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)

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|_ Démonstration trigonométrique _|

Dans un triangle rectangle, un côté de l'angle droit vaut l'hypoténuse multiplié par
soit le sinus de l'angle opposé
soit le cosinus de l'angle adjacent.

Par exemple, dans le triangle BOA rectangle en A
dont OB est l'hypoténuse,
BA = OB sin(a) car BA est le côté opposé à l'angle (a);
OA = OB cos(a) car OA est le côté adjacent à l'angle (a).


sin(a+b)


 = CE / OC

 car dans le triangle COE rectangle en E,  CE = OC sin(a+b)

 = (CD + DE) / OC

 car CE = CD + DE

 = CD / OC + DE / OC


 = CB cos(a) / OC + DE / OC

 car dans le triangle BCD rectangle en D,  CD = CB cos(a)

 = (CB/OC) cos(a) + DE / OC


 = sin(b) cos(a) + DE / OC

 car dans le triangle COB rectangle en B,  CB = OC sin(b)

 = sin(b) cos(a) + BA / OC

 car DE = BA

 = sin(b) cos(a) + OB sin(a) / OC

 car dans le triangle BOA rectangle en A,  BA = OB sin(a)

 = sin(b) cos(a) + sin(a) OB / OC


 = sin(b) cos(a) + sin(a) cos(b)

 car dans le triangle COB rectangle en B,  OB = OC cos(b)



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|_ Démonstration par les Formules d'Euler _|
i² = -1
sin(t) = ( exp(it) - exp(-it) )/2i
cos(t) = ( exp(it) + exp(-it) )/2

Remplaçons les sin(t) et cos(t) dans la formule à démontrer : sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

= ( exp(ia) - exp(-ia) ) ( exp(ib) + exp(-ib) )/4i + ( exp(ia) + exp(-ia) ) ( exp(ib) - exp(-ib) )/4i

= ( exp(i(a+b)) + exp(i(a-b)) - exp(-i(a-b)) - exp(-i(a+b)) + exp(i(a+b)) - exp(i(a-b)) + exp(-i(a-b)) - exp(-i(a+b)) )/4i

(les quatre termes en (a-b) s'annulent deux à deux)

= ( 2 exp(i(a+b)) - 2 exp(-i(a+b)) )/4i = ( exp(i(a+b)) - exp(-i(a+b)) )/2i = sin(a+b)

(selon la première des Formules d'Euler)