sin(a+b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)
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|_ Démonstration
trigonométrique _|
Dans un triangle rectangle, un côté de
l'angle droit vaut l'hypoténuse multiplié par |
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sin(a+b) |
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= CE / OC |
car dans le triangle COE rectangle en E, CE = OC sin(a+b) |
= (CD + DE) / OC |
car CE = CD + DE |
= CD / OC + DE / OC |
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= CB cos(a) / OC + DE / OC |
car dans le triangle BCD rectangle en D, CD = CB cos(a) |
= (CB/OC) cos(a) + DE / OC |
|
= sin(b) cos(a) + DE / OC |
car dans le triangle COB rectangle en B, CB = OC sin(b) |
= sin(b) cos(a) + BA / OC |
car DE = BA |
= sin(b) cos(a) + OB sin(a) / OC |
car dans le triangle BOA rectangle en A, BA = OB sin(a) |
= sin(b) cos(a) + sin(a) OB / OC |
|
= sin(b) cos(a) + sin(a) cos(b) |
car dans le triangle COB rectangle en B, OB = OC cos(b) |
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Démonstration par les Formules
d'Euler
_|
i²
= -1
sin(t) = ( exp(it) - exp(-it) )/2i
cos(t) = ( exp(it) +
exp(-it) )/2
Remplaçons les sin(t) et cos(t) dans la formule à démontrer : sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) |
= ( exp(ia) - exp(-ia) ) ( exp(ib) + exp(-ib) )/4i + ( exp(ia) + exp(-ia) ) ( exp(ib) - exp(-ib) )/4i |
= ( exp(i(a+b)) + exp(i(a-b)) - exp(-i(a-b)) - exp(-i(a+b)) + exp(i(a+b)) - exp(i(a-b)) + exp(-i(a-b)) - exp(-i(a+b)) )/4i |
(les quatre termes en (a-b) s'annulent deux à deux) |
= ( 2 exp(i(a+b)) - 2 exp(-i(a+b)) )/4i = ( exp(i(a+b)) - exp(-i(a+b)) )/2i = sin(a+b) |
(selon la première des Formules d'Euler) |